投资泡沫产生原因？
最近看了很多关于泡沫的文章，有金融的，有经济的，也有数学的。这些文章都有一个共同点，就是只看到了泡沫的一面之缘，而没有看到泡沫背后的本质，更未能找到泡沫产生的根源。 于是，我写了这篇文章，从数学模型的角度，来探讨一下“泡沫”的产生机理。 我先给出结论，然后进行证明。 结论： 当利率大于零时，任何封闭的（即无法通过购买外国资产进而将资金投放到国外的）债券市场必然存在泡沫； 证明： 考虑一个包含无限多资产的金融市场，所有资产的价格和利率分别为 p_{t}，r_{t}，t=0，1，…定义市场组合\begin{equation}\label{eq：market_portfolio} \phi_{t+1} = \frac{\sum_{i=1}^{N}{p_{i，t}}}{\sum_{i=1}^{N}{r_{i，t}}}， t=0，1，… \end{equation} 其中 r_{it} 是第 i 种资产在时间 t 的预期收益率， p_{it}是第 i 种资产的价格。
由定义知，市场组合是一种最优资产配置，因为它同时满足： 市场均衡：\sum_{i=1}^{N}{ r_{i} } = 0 最大化期望收益：\sum_{i=1}^{n}{ r_{i} \phi_{i} } 最小化风险：\sum_{i=1}^{K}{ r_{i} \phi_{i}^{2} } = VAR(R_{T}) 把上面三个方程代入最优化条件，并对 t 求导，可以得到： \frac{dr_{i}}{d \phi_{i}} =-\frac{ r_{i}}{\phi_{i}} + \frac{ r_{i} \phi_{i}}{\sum_{j=1}^{N}{ r_{j} \phi_{j}}} = -\frac{ r_{i}}{\sum_{j=1^{N}{ r_{j} \phi }}， \qquad (i = 1，\cdots， N) 这就是均衡条件下，资产价格对于市场组合的敏感度。
当利率大于零时，任何封闭的（不能通过购买外国资产而将资金投放到国外）债券市场都存在着泡沫，因为如果市场价格没有反应所有信息的话，那么上述最优化问题就一定存在唯一解。而这个唯一解必然会满足方程 \frac{ dr_{i} } { d \phi_{i} } > 0 ，也就是说，在市场组合变动的情况下，资产价格会对利率变化做出正向的反应——这正好证明了泡沫的存在性。